0

PEWARNAAN TITIK / SIMPUL

Posted by Jujur Sitanggang on 2:19 PM


  1. Pengertian.
Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph  sedemikian sehingga setiap dua titik yang bertetangga (berhubungan langsung) mempunyai warna yang berbeda. Dua titik yang bertetangga (berhubungan langsung) adalah dua titik yang dihubungkan oleh sebuah sisi.
Contoh 1 :
              v                                  v
     
               v4                                 v3
Titk v1  bertetangga dengan titik v2 dan v4 dan tidak bertetangga dengan titik v3, berarti titik titik v1 tidak boleh berwarna sama dengan titik v2 dan v4 tetapi boleh berwarna sama dengan titik v3.
Dalam pewarnaan graph, kita tidak hanya sekedar mewarnai titik – titik dengan warna yang berbeda dari warna titik yang bertetangga saja, tetapi kita juga menginginkan jumlah macam warna yang digunakan seminimum mungkin. Dan pewarnaan titik di sisi dibatasi pada graph sederhana atau graph yang tidak mempunyai sisi rangkap atau gelung.



Contoh 2 :       v1                                   v2


v6                          v7                                 v3


              v5                               v4
                               G     
Jumlah warna minimum yang dapat  digunakan untuk mewarnai titik pada  suatu graph G disebut bilangan kromatik graph G, yang dilambangkan       dengan χ(G). Suatu graph yang mempunyai bilangan   kromatis k dilambangkan dengan χ(G) = k. Berarti graph G pada contoh 2 di atas mempunyai bilangan kromatik = 3 atau  χ(G) = 3.
  1. Teorema – teorema yang berhubungan dengan bilangan kromatik suatu graph.
Teorema 8.1.
a).     Jika ada sebuah pewarnaan – k pada graph G, maka χ (G) ≤ k
Bukti :
  • Jika ada pewarnaan – k pada graph G berarti semua titik pada graph G dapat diwarnai dengan menggunakan k warna.
  • Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknya warna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada graph G, sedemikian sehingga syarat pewarnaan terpenuhi. Maka χ (G) ≤ k
Contoh 3                                  v                             v
                                                          
                                                v                               v
                                                                     G
Pewarnaan – 4 atau χ (G) = 4    (k = 4)
Sebenarnya graph G pada contoh 3 di atas dapat diwarnai dengan menggunakan   
2 warna            

                                     v                                     v2                      
            
                                                  
                                    v                                     v
                                                           G
dengan demikian  χ (G) = 2  berarti χ (G) ≤ k
b).     Jika H sebuah graph bagian dari graph G, maka χ (H) ≤ χ (G)
Bukti :
  • Misalkan H sebuah graph bagian dari graph G. Berarti V(H) V(G) dan E(H) E(G)
  • Karena setiap pewarnaan titik H dapat diperluas ke sebuah pewarnaan titik di G, maka χ (H) ≤ χ (G)

contoh 4 :
                   v                        v                                  v                      v

         v

                      v                        v                                v                         v   
                                G                                                               H
diperoleh χ (G) = 3 dan χ (H) = 2 berarti χ (H) ≤ χ (G)
c).     Jika G , G , .  .  . , Gk adalah komponen – komponen graph G, maka :          χ (G) = maks {X(Gi)1≤i ≤k}
Bukti :
  • Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k yang ditulis dengan G , G , .  .  . , Gk adalah komponen – komponen graph G yang mempunyai bilangan kromatik maksimum, katakan t.
  • Sehingga t warna yang digunakan untuk mewarnai semua titik di Gi, dapat digunakan untuk mewarnai semua titik di G pada komponen selain Gi, sehingga diperoleh sebuah pewarnaan – t pada G.
  • Berdasarkan definisi bahwa χ (G) ≤ t dan karena Gi adalah graph bagian dari G dan χ(Gi) = t, maka χ(G) χ(Gi) = t
  • Karena χ (G) ≤ t dan χ(G) t, maka  χ(G) = t

Contoh 5 :
                                                           




        
                                                       G
:
    



                  





                     G1                                          G2                                    G3

Graph G1, G2 dan G3 adalah komponen – komponen dari graph G.
Teorema 8. 2.
a).      Jika graph G adalah graph komplit dengan n titik, maka χ (G) = n.
Bukti :
Karena pada graph komplit setiap dua titik berhubungan langsung, sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harus diwarnai dengan warna yang berbeda.



Contoh 6 :

                                         
                                             G
                    Graph G dengan  4  titik maka χ (G) = 4
b).      Jika graph G adalah graph kosong, maka χ (G) = 1
Bukti :
Karena graph kosong hanya terdiri dari titik – titik dan tidak ada sisi yang menghubungkan dua titik, berarti setiap titik boleh mempunyai warna yang sama.
Contoh 7 :
      
                          graph G dengan χ (G) = 1
Teorema 8.3.
Misalkan G graph tak kosong. Graph G bipartisi jika dan hanya jika             χ (G) = 2
Bukti :   () Jika G bipartisi maka χ (G) = 2
  • G bipartisi maka G dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan X dan Y.
  • Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X (karena tiap titik di X tidak saling berhubungan)
  • Gunakan warna 2 untuk mewarnai semua titik di Y (karena tiap titik di Y tidak saling berhubungan)
  • Sehingga hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnai graph G, berarti              χ (G) = 2
Contoh 8 :        X        (1)                 (1)                    (1)

                         Y       (2)                   (2)                 (2)
                                             Graph G  dengan χ (G) = 2
Bukti :   () Jika χ (G) = 2 maka G bipartisi
  • Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna (1) diletakkan dalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai dengan warna (2) diletakkan dalam himpunan Y.
  • Berarti titik – titik yang terletak dalam himpunan X tidak mungkin saling berhubungan karena berwarna sama, begitu juga untuk titik – titik yang terletak dalam himpunan Y, tetapi pastilah titik – titik yang terletak dalam himpunan X dan titik  - titik yang teletak dalam himpunan Y berhubungan agar terbentuk suatu graph. Sehingga graph yang terbentuk adalah graph bipartisi.



Contoh :                                  v1                                  v2


                           v3                      v4                          v5
                                        Graph G  dengan χ (G) = 2
Teorema 8,4.
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka  χ (G) = {2, jika n genap 3, jika n ganjil          
Bukti :
  • Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik. Maka panjang sikel  Cn adalah n.
  • Jika n genap, maka Cn adalah graph bipartisi. Berdasarkan teorema 8.3 bilangan kromatik Cn adalah 2.
  • Jika n ganjil maka Cn bukan graph bipartisi. Berdasarkan teorema 8.3 dan Cn bukan  graph kosong, maka χ (G) 3
  • Selanjutnya misalkan Cn = (v1, v2, v3, . . . , vn)
  • Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n – 2, warnai titik vi dengan warna 1. Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n – 1, warnai titik vi dengan warna 2. Akhirnya warnai titik vn dengan warna 3.
  • Maka diperoleh sebuah pewarnaan – 3 pada Cn. Berdasarkan definisi bilangan kromatik, maka χ (G) 3.
  • Karena χ (G) 3 dan χ (G) 3, maka χ (G) = 3.
  • Jadi untuk Cn adalah sikel dengan n titik maka untuk n genap maka χ (Cn) = 2 dan untuk n ganjil maka χ (G) = 3.
Contoh 9 :




              Cn                                                                        Cn
         dengan n = 6                                                       dengan n = 5                                 
            χ (C4)  = 2                                                          χ (C5) = 3
Teorema 8.5.
Jika G graph sederhana dengan derajat maksimum Δ(G) , maka                 χ(G) ≤ Δ(G) + 1
Bukti : (dengan induksi)
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, dapat ditulis |V(G)| = n
  • Untuk |V(G)| = 1 maka G = K1 (G graph kosong) , sehingga χ(G) = 1 dan Δ(G) = 0. Akibatnya  :    χ(G) = 1 ≤ 0 + 1
    χ(G) = Δ(G)  + 1
jadi pernyataan benar untuk n = 1
  • Diasumsikan pernyataan benar untuk graph G dengan |V(G)| = n – 1 untuk       n > 1 dan misalkan G graph sederhana dengan |V(G)| = n.
  • Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v itu sehingga terbentuk graph baru G–v dengan n - 1  titik.
  • Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G-v)  ≤ Δ(G-v) + 1, berarti semua titik di graph G-v dapat diwarnai dengan  Δ(G-v) + 1 warna.
  • Karena titik v dihapus pada garph g maka Δ(G-v) ≤ Δ(G).
Dari Δ(G-v) ≤ Δ(G) terdapat 2 kasus, yaitu :
Kasus 1 : (Δ(G-v) = Δ(G)
  • Karena χ(G-v)  ≤ Δ(G) + 1, berarti semua titik di G-v dapat diwarnai dengan Δ(G) + 1 warna sedemikian hingga syarat pewarnaan terpenuhi.
  • Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnai NG(v) di G-v  sebanyak – banyaknya  Δ(G), padahal pewarnaan - (Δ(G) + 1) di graph    G-v, maka terdapat paling sedikit satu warna di G-v yang tidak muncul pada NG(v) di G, sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnai titik v di G. diperoleh pewarnaan - (Δ(G) + 1)  pada graph G.
  • Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperoleh                 χ(G) ≤ Δ(G) + 1
Kasus 2 : (Δ(G-v) < Δ(G)
  • Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G-v)  ≤ Δ(G-v) + 1
  • Karena χ(G-v)  ≤ Δ(G) + 1 dan χ(G-v)  < Δ(G), maka χ(G-v)  < Δ(G) + 1 atau χ(G-v)  ≤ Δ(G) + 1 (karena bilangan kromatik dari graph G-v adalah bilangan bulat). Artinya ada pewarnaan  - Δ(G)  pada graph G-v.
  • Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warna yang muncul di graph G-v sehingga diperoleh pewarnaan  - (Δ(G) + 1)  pada graph G.
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh  χ(G-v)  ≤ Δ(G) + 1

  1. Algoritma WELCH – POWELL (algoritma pewarnaan titik pada graf)
Pewarnaan titik pada graph dapat dilakukan dengan mengguakan Algoritma  WELCH – POWELL, dengan langkah – langkah sebagai berikut :
  1. Urutkan titik – titik dari G dalam derajat menurun,
d(V) > d(V) > d(V) > .  .  .  > d(Vn) (boleh memakai tabel)
2.     Gunakan warna pertama (I) untuk mewarnai titik pertama (yang mempunyai derajat tertinggi (v)) dan titik yang tidak bertetangga dengan v
3.     Gunakan warna ke dua (II) untuk mewarnai titik dengan derajat tertinggi berikutnya.
4. Ulangi penambahan warna – warna sampai semua titik terwarnai.
Contoh 10 :
Warnailah graph G di bawah ini dengan menggunakan Algoritma Welch Powell.
                                     v1                                    v2
                                                                    

                                  V6                   v7                    v3
                                                                          
                                  
                                        v5                        v4
                                                     G


dengan langkah – langkah sebagai berikut :
  1. Urutkan titik dari G, seperti pada tabel
Titik
v1
v3
v5
v7
v2
v4
v6
Derajat
5
4
4
4
3
3
3
warna
a
b
b
c
c
a
d

  1. Dari tabel diperoleh v1 mempunyai derajat tertinggi yaitu 5, warnai titik v1    dengan warna a dan warnai titik lain (yaitu titik v4) yang tidak berhubungan langsung dengan titik v1 dengan warna a.
  2. Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi berikutnya yaitu titik v3 (dengan derajat 4) dengan warna b, dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan titik v3 yaitu titik v5, kemudian warnai titik v5 dengan warna yang sama dengan titik v3 yaitu warna b.
  3. Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi berikutnya yaitu titik v7 (dengan derajat 4) dengan warna c, dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan titik v7 yaitu titik v2, kemudian warnai titik v2 dengan warna yang sama dengan titik v7 yaitu warna c.
  4. Kemudian  warnai titik terakhir yang belum terwarnai yaitu titik v6 dengan warna d.
                          v1(a)          v2(c)
                                                                    

                V6 (d)                    v7 (c)             v3 (b)
                                                                         
                                  
                        v5(b)                       v4(a)
Graph G di atas dapat diwarnai dengan menggunakan 4 warna,                berarti χ(G) = 4.  
Contoh 11 :
Warnailah graph G di bawah ini dengan menggunakan Algoritma Welch Powell.
                                 A                                    H
                                                                                    G
                          B
                                C                                       F
                                                   D           E
Urutkan titik dari G, seperti pada tabel
Titik
H
A
D
F
B
C
E
G
Derajat
5
4
4
4
3
3
3
2
warna
a
b
b
c
a
c
c
a

Dengan langkah yang sama dengan soal nomor 10, maka diperoleh :
                    A(b)                                 H(a)
                                                                               G(a)
           B(a)
        C(c)                                                  F(c)
                        D(b)                    E(c)
Graph G di atas dapat diwarnai dengan menggunakan 3 warna,                berarti χ(G) = 3.  

  1. Aplikasi pewarnaan titik pada graph
Pewarnaan titik pada graph dapat diaplikasi keberbagai bidang, diantaranya :
  1. Penjadwalan ujian.
Persoalan yang mempunyai karakteristik seperti pewarnaan graph adalah persoalan menentukan jadwal ujian. Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (1,  2,  3,  . . ., 8) dan lima mata kuliah yang dipilihnya        (A,  B,  C,  D,  E). Tabel  berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka 1 pada elemen (i,j) berarti mahasiswa i memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j.

1
2
3
4
5
6
7
8
A
0
0
0
1
0
0
1
0
B
1
1
0
1
1
0
0
0
C
0
0
1
0
0
1
1
1
D
0
1
1
0
1
1
0
1
E
1
0
0
0
0
0
0
0

Berdasarkan tabel tadi, administatur mata kuliah  ingin menentukan jadwal ujian sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya. Pendek kata, jika ada mahasiswa yang mengambil dua buah mata kuliah atau lebih, jadwal ujian mata kuliah tersebut harus pada waktu yang tidak bersamaan. Ujian dua mata kuliah dapat dijadwalkan pada waktu yang sama jika tidak ada mahasiswa yang sama yang mengikuti ujian dua mata kuliah itu. Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut?
Penyelesaian :
Penyelesaian persoalan menentukan jadwal ujian semua mata kuliah sama dengan menentukan bilangan kromatik suatu graph. Kita dapat menggambarkan graph yang menyatakan penjadwalan ujian, dengan titik – titik pada graph menyatakan mata kuliah sedangkan sisi yang menghubungkan dua titik pada graph menyatakan ada mahasiswa yang memilih kedua mata kuliah itu.
Persoalan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk graph seperti di bawah ini :
                                        A(b)                              B(a)

                                                                             C(a)  

                     E(b)                              D (b)

Titik
B
A
C
D
E
Derajat
3
2
2
2
1
warna
a
b
a
b
b

Bilangan kromatik dari graph di atas adalah 2. Jadi jumlah hari yang paling sedikit  dibutuhkan untuk jadwal ujian lima mata kulaih untuk delapan orang mahasiswa tersebut adalah 2 hari.

  1. Penempatan bahan – bahan kimia secara efisien
Ada enam jenis zat kimia yang perlu di simpan di dalam gudang. Beberapa pasang dari zat itu tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama, karena campuran gasnya bersifat eksplosif (mudah meledak). Utnuk zat yang semacam itu perlu dibangun ruang – ruang yang terpisah yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang berlainan. Jika lebih banyak ruangan yang dibutuhkan, berarti lebih banyak ongkos yang harus dikeluarkan karena itu perlu diketahui berapa banyak minimum ruangan yang diperlukan untuk dapat menyimpan semua zat kimia dengan aman. Berikut ini adalah daftar pasangan zat kimia yang tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama.
Zat kimia
Tidak dapat disimpan bersama zat kimia
A
B,  D
B
A,  D,  E,  F,  
C
E,  
D
A,  F,  B
E
B,  C,  
F
B,  D

Penyelesaian :
Graph dari tabel di atas adalah
                  A©                              B(a)
                                                                           C (a)

       F©                                             
                                                                  D(b)
                             E(b)  
Keterangan :
Titik menyatakan zat kimia dan sisi yang menghubungkan dua zat kimia yang tidak boleh terletak dalam satu ruangan.

Titik
B
D
A
E
D
C
Derajat
4
3
2
2
2
1
Warna
a
b
c
b
c
a

Bilangan kromatik dari graph di atas adalah 3, berarti dibutuhkan banyak ruangan minimum untuk menyimpan enam zat kimia pada soal di atas adalah sebanyak 3 ruangan.


Untuk lebih jelas gambarannya klik link ini 










0 Comments

Copyright Jujur Soaloon Sitangang Lipan All rights reserved. Theme by Sitanggang. | Bloggerized by Soalparna.